Equazioni di vari tipi

Christopher Kent Mineman - Didattica in rete

RIDUCIBILI AD EQUAZIONI IN UNA VARIABILE

REGOLE DI VALIDITA' GENERALE:

Ridurre tutto in un'equazione in seno e coseno; eliminare tangenti, cotangenti, secanti e cosecanti con le opportune trasformazioni.

fatti i calcoli e le semplificazioni ridurre tutto in un'equazione o in seno o in coseno.

Risolvere nella variabile residua.

Equazioni omogenee  di 1° grado

equazioni del tipo: a sen x + b cos x=0. Dividere ogni termine per cos x e si ottiene un'equazione in tangente a tang x + b = 0

Equazioni omogenee  di 2° grado

equazioni del tipo a sen2 x + b sen x cos x + c cos2x = 0. Dividere per cos2x ottenendo un'equazione del tipo a tang2 x + b tang x + c = 0


equazioni del tipo a sen2 x + b sen x cos x + c cos2x  + d = 0. Prima di dividere moltiplicare il termine d per sen2 x + cos2 x  ottenendo:

(a+d) sen2 x + b sen x cos x + (c+d) cos2x = 0 Dividere per cos2x ottenendo un'equazione del tipo (a+d) tang2 x + b tang x + (c+d) = 0

Equazioni lineari Sono equazioni del tipo a sen x + b cos x = c , con a, b, c numeri reali assegnati, che supporremo diversi da zero (infatti nel caso in cui a o b fossero uguali a zero si avrebbe di nuovo un'equazione elementare, il caso in cui c sia uguale a zero verrà esaminato più avanti).Per risolvere questo tipo di equazioni conviene sostituire sen x e cos x con le loro corrispondenti espressioni razionali in funzione di tg(x/2) valide perx π + 2kπ, si avrà quindi:

svolgendo i calcoli si otterrà l'equazione di secondo grado in tg(x/2):

(b + c)(tg(x/2))2 - 2atg(x/2) + c - b = 0

se questa avrà due soluzioni reali, le chiameremo r1 e r2 , si avranno le seguenti equazioni elementari, di cui si conosce la soluzione:

tg(x/2) = r1 tg(x/2) = r2

Per l'equazione lineare data potrebbero essere però soluzioni anche i valori del tipo x = π + 2kπ, che non si possono avere col metodo descritto a causa delle restrizioni imposte dalle formule usate; se però si verifica il caso in cui b + c = 0 , si ha anche soluzioni per x = π + 2kπ.