I concetti astratti della misura e di integrazione saranno più chiari se si terrà conto di come si è evoluto il concetto di misura.
Questo problema è stato sempre presente nella vita di tutti i giorni così come nella scienza Tuttavia il concetto astratto di misura è stato affrontato solo nel ventesimo secolo. Lo sviluppo corrispondente può essere studiato nel suo evolversi nei vari periodi storici, ciascuno caratterizzato dal relativo atteggiamento particolare verso il problema della misura.
Il periodo puramente empirico è cominciato con la preistoria ed è durato fino al sesto secolo A.C.
La conoscenza organizzata più avanzata di questa era quella dei Babilonesi e degli Egiziani antichi, che fornirono le regole precise e corrette per l' individuazione delle aree ed i volumi di varie figure geometriche come il triangolo, il trapezio ed il cerchio.
Per i babilonesi, ≥ 3 (questo valore di π è stato trovato nel vecchio testamento) e per gli Egiziani π era uguale 256/81 (= 3,160). Gli Egiziani antichi hanno persino avuto una regola corretta per la misurazione del tronco d'una piramide quadrata, vicino alla base e fa tagliando la parte superiore con un piano parallelo alla base. Queste regole sono state scoperte empiricamente.
Le informazioni disponibili spingono alcuni storici ad attribuire la nascita della matematica astratta a Talete di Mileto (sesto secolo A.C.), uno dei sette uomini saggi della Grecia antica.
Il periodo greco
Questo periodo è cominciato con Talete di Mileto ed è durato fino a circa 200 A.C... Entro il quinto secolo a.c.., i problemi della quadratura e della cubatura erano così popolari che Aristofane nel suo trattato satirico gli uccelli allude alla quadratura dei cerchi ed il problema di duplicazione dei cubi è attribuito all'Oracolo di Delfi. Le prime prove dell' estratto delle regole per l' individuazione le alcuni zone e volumi si dicono per essere sviluppate A.C. da Esodo nel 367. Dopo circa un secolo, il suo metodo di approssimazione è stato messo a punto e sfruttato stato da Archimede, il matematico più grande dell' antichità.
Nel diciasettesimo secolo
Questa procedura, chiamata il metodo esaustivo nel diciassettesimo secolo, era alla radice di tutti gli ulteriori sviluppi del problema matematico della misura.
Il metodo è culminato nell'elaborazione nel 19º secolo del concetto
di integrazione di Riemann, definito per mezzo di approssimazione delle
somme di Riemann (che, in tutta la giustizia, potrebbero essere chiamate
somme di Archimede o del Eudoxo o, come sarà visto sotto, somme di Cauchy).Lo
slancio e gli strumenti per l' astrazione sono stati forniti tramite lo
sviluppo di algebra, della nascita della geometria analitica René Descartes
Géométrie (1637), di Fermat Isagoge (scritto prima di 1636) e della nascita
e dello sviluppo della cinematica , la considerazione di movimento che
lascia da parte le considerazioni di massa e di forza. Considerazione
di tempo come concetto in cinematica e la nozione dell' ascissa (la coordinata
orizzontale d'un punto in un sistema coordinato cartesiano dell' aereo),
condotta ad accettazione graduale dell' idea di variabile indipendente.
Le velocità ed i pendii delle tangenti hanno condotto al concetto di differenziazione.
Prestazioni delle rettifiche, come quella degli archi parabolici, hanno
determinato un primo collegamento fra differenziazione ed integrazione,
perché la rettifica delle curve y = f (x) è stata ridotta alla quadratura
L'integrazione ha perso il relativo ruolo predominante per differenziazione. Il collegamento di base è stato fornito dal riconoscimento che la differenziazione e l' integrazione sono funzionamenti inversi, da trovare nel Lectiones Geometricae del matematico della carriola inglese di Isaac di 1670. Il rapporto fra differenziazione ed integrazione, tuttavia, è stato dato soltanto molto più tardi: la derivata in termini di pendii delle tangenti e l' integrale in termini di zone Il periodo del calcolo integraleQuesto periodo si è esteso circa dal 1670 fino l' inizio del diciannovesimo secolo, l'inizio con la creazione del calcolo integrale fatto da Leibniz ed Newton. Newton, influenzato dalla sua carriola dell' insegnante e dalla sua preoccupazione con la dinamica occupandosi delle forze e del loro rapporto, soprattutto al movimento, ha usato una variabile indipendente universale concepita soprattutto come tempo; quindi, non ha avuto concetto delle funzioni di parecchie variabili e quindi non ha colto l'importanza del concetto di derivata parziale. Il concetto primario era quello delle flussioni (derivata) ed è risultato dalle considerazioni cinematiche. Il concetto dell' integrale non è stato isolato e nessun simbolo per integrazione è stato introdotto. Il suo primo problema di base doveva trovare le flussioni. L' integrazione è stata trattata in una forma geometrica come ricerca dei fluenti (antiderivate, primitive, integrali indefiniti), le funzioni le flussioni di cui sono date. Newton ha dipeso principalmente dal fatto che la derivata d'un a sezione variabile la F (x) sotto una curva è l' ordinata la f (x) di questa curva. Per Newton, inoltre, l' integrazione era soltanto un caso particolare del suo secondo problema di base: dato un' uguaglianza che contiene le flussioni, trovare il rapporto corrispondente per i fluenti (risolvere le equazioni differenziali . Ha risolto formalmente questo problema per mezzo di serie. Leibniz, influenzato da Pascal, concepita la derivata come il pendio d'una tangente e dell' integrale come linae di omnium di summa (" la somma di tutte le righe "). Lo scopo principale della sua attività era inventare un linguaggio universale; cioè un formalismo generale per l' acquisizione e l'organizzazione di conoscenza. In gran parte è riuscito a effettuare la creazione d'un tal formalismo per il calcolo ed il formalismo attuale è ancora essenzialmente e correttamente il suo, compreso il simbolo integrale (una forma stilizzata della lettera S che si leva in piedi per il omnium di summa ). suoi sono egualmente i termini di costante, variabile, parametro e (con l'aiuto del matematico svizzero Johann Bernoulli) funzione ed integrale. Gli anni eroici del calcolo alla conclusione del diciassettesimo secolo hanno visto il flusso costante di nuovi risultati da Leibniz e dalla sua scuola, come compreso nel lavoro di Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli e G.F.A. de l'Hospital. I matematici del diciottesimo secolo hanno dato un piccolo contributo ai fondamenti del calcolo integrale.
RIASSUMENDO
Le radici del calcolo infinitesimale sono da cercare nella geometria dell'antica Grecia. Eudosso e Archimede usarono il "metodo di esaustione", per determinare l'area del cerchio, approssimandola a quella di poligoni in esso inscritti, dal numero di lati sempre maggiore.
All'inizio del XVII secolo Bonaventura Cavalieri e Torricelli svilupparono e ampliarono l'uso degli infinitesimi, mentre Descartes e Fermat determinarono le aree e definirono le tangenti a curve assegnate, sfruttando gli strumenti dell'algebra e utilizzando operazioni che equivalgono, in termini moderni, all'integrazione e alla differenziazione. Fermat e Isaac Barrow misero in luce l'esistenza di una stretta relazione tra queste due operazioni, finché Newton (dal 1660) e Leibniz (dal 1670) dimostrarono il Teorema fondamentale del calcolo, da cui si deduce che le operazioni di differenziazione e di integrazione sono l'una l'inversa dell'altra.
Newton giunse alla scoperta del calcolo infinitesimale nell'ambito degli studi sulla teoria della gravitazione e probabilmente prima di Leibniz. Nel XIX secolo l'analisi sostituì le vaghe nozioni di infiniti e infinitesimi allora esistenti con definizioni precise, formulate in termini di quantità finite: Bolzano e Cauchy definirono con precisione i limiti e le derivate, Cauchy e Riemann fecero altrettanto per gli integrali, e Julius Dedekind e Weierstrass per i numeri reali. Fu dimostrato che le funzioni differenziabili sono continue, e le funzioni continue sono integrabili, ma che per nessuna delle due affermazioni vale il teorema inverso.